LÖSUNGSVORSCHLÄGE ZU AUFGABEN DER GEOMETRIE AUS DER ANTIKE
Einführung
Geometrie
Die Griechen befassten sich u.a. mit der Konstruktion geometrischer Sachverhalte. Einfache Beispiele sind die Konstruktion einer geraden Strecke, die doppelt so lang wie eine andere ist, oder die einer Geraden die einen gegebenen Winkel in zwei gleiche große Winkel teilt. Drei berühmte Probleme, die aus der Zeit der alten Griechen stammen, widerstanden den Lösungsversuchen vieler Generationen von Mathematikern: die Verdoppelung des Würfels (Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen eines vorgegebenen Würfels), die Quadratur des Kreises (Konstruktion eines Quadrats mit demselben Flächeninhalt wie ein vorgegebener Kreis) und die Dreiteilung des Winkels (das Teilen eines Winkels in drei gleiche Teile). Die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises mit Mitteln der euklidiischen Geometrie wurde 1882 von dem deutschen Mathematiker Ferdinand von Lindemann endgültig bewiesen …
. . . und doch gibt es brauchbare Annäherungen.
Allgemeines
Wenn auf einer Unterlage (z. B. einem Blatt Papier) geometrische Figuren gezeichnet werden, gibt es aufgrund ihrer Lage zueinander oder im günstigeren Fall aufgrund ihrer Berührungen miteinander, immer eine gemeinsame Aussage.
Diese Beziehungen zu finden, ist mit Sicherheit eine große Herausforderung.
Kann man mathematische Abläufe geometrisch darstellen? Gibt es “ neue Wege “ für die Quadratur des Kreises?
Wie sieht es mit der Umwandlung in entgegengesetzter Richtung aus? Den Durchmesser des Kreises zu finden, dessen Fläche der Fläche eines vorgegebenen Quadrats entspricht?
Ist die Zahl Pi geometrisch bis auf die vierte Stelle oder fünfte Stelle hinter dem Komma (1 /10.000, 1 / 100.000 oder gar noch genauer) darstellbar und dieses nur mittels Lineal, (rechtwinkligem Dreieck) und einem Zirkel?
Ja, ich habe einige interessante Wege dafür gefunden und dies gemäß einem meiner Sinnsprüche:
„Die Kraft der Natur
scheint dem Menschen grenzenlos,
doch sie sagt sich nie
von den Gesetzen und ihren Grenzen los“
(Die Natur ist in der Regel, beständig und kalkulierbar. Auch wenn das nicht immer so scheint. Mit Sicherheit haben wir noch nicht alle Abläufe und Gesetzmäßigkeiten erkannt.)
Auch für die Teilung eines Winkels in drei gleich große Winkel gibt es einen Lösungsweg, allerdings nur mit „ ausreichender „ Genauigkeit. Die Abweichung liegt im Maximum unter 0,273 Grad, im Durchschnitt unter 0,08 Grad. Mit diesem Konstruktionsverfahren lassen sich auch die Längen der Sehnen für eine Teilung eines Kreises in gleich große, gleichschenklige Dreiecke ermitteln.
Hier entspricht die Genauigkeit der, der Winkel der Dreiecke, also den zuvor genannten Werten.
Dabei ist es für die Konstruktion aller Aufgaben nicht einmal notwendig, dass eine Einteilung oder Skala sich auf den genannten Geräten (Lineal, (Dreieck – 90 Grad -), Zirkel) befindet. Notwendig wird eine Skala oder Einteilung nur, um die Genauigkeit oder das Ergebnis mit dem Ergebnis mathematischer Verfahren vergleichen zu können.
Einfach sich die Konstruktionsausführungen unter den weiteren Punkten „Geometrie“ ansehen.
QUADRATUR DES KREISES
Grundkonstruktionen
(Arbeitsabläufe, einfachere Variante)
Konstruktion eines Kreises (Teil I)
K 1) zeichne eine waagerechte Linie
K 2) lege z. B. in der Mitte auf der Linie einen Punkt fest und bezeichnen ihn mit „M“ (Mittelpunkt).
K 3) schlagen mit einer gewünschten Zirkelöffnung um den Punkt M einen Kreis und erhalte dann den gewünschten Kreis.
Grundkonstruktion für die Quadratur des Kreises (Teil II)
K 1) zeichne durch den Mittelpunkt “M“ eine waagerechte Linie (wenn nicht schon durch die Kreiskonstruktion vorgegeben), sodass sie den Kreis links im Punkt A und rechts im Punkt A4 schneidet.
K 2) errichte im Punkt “M“ eine Senkrechte, sodass der Kreis oben im Punkt A2 und unten im Punkt A6 geschnitten wird.
K 3) halbiere die Winkel MA – MA2, MA2 – MA4, MA4 – MA6, MA6 – MA und erhalte jeweils dort, wo die Winkelhalbierende die Kreislinie schneidet, die Schnittpunkte a1, a3, a5 und a7.
K 4) konstruiere das innere Quadrat, in dem die Punkte a1 mit a3, a3 mit a5, a5 mit a7 und a7 mit a1 miteinander verbunden werden. Hierbei erhalten wir noch, in dem wir die waagerechte durch Punkt M geführte Strecke schneiden, die Schnittpunkte a und a4, außerdem durch das schneiden der durch Punkt M geführten senkrechten Strecke, die Schnittpunkte a2 und a6.
K 5) konstruierte das äußere Quadrat, in dem jeweils in den Punkten A und A4 eine Senkrechte errichtet wird, die so zu verlängern ist, dass sie die Linie, die von M über a1 hinaus geführt wird, in Punkt A1, die Linie, die von M über a3 hinausgeführt wird, in Punkt A3, die Linie, die von M über a5 hinausgeführt wird, in Punkt A5, die Linie, die von M über a7 hinausgeführt wird in Punkt A7 schneidet.
K 6) Jetzt müssen nur noch die Punkte A1 mitA3 und A5 mit A7 verbunden werden, um das äußere Quadrat vollständig zu erstellen. Hierbei erhalten wir noch, in dem wir die waagerechte durch Punkt M geführte Strecke schneiden, die Schnittpunkte A und A4, außerdem durch das schneiden der durch Punkt M geführten senkrechten Strecke, die Schnittpunkte A2 und A6.
K 7) Wenn jetzt auch noch die Seiten des inneren Quadrats soweit verlängert werden, dass sie die Seiten des äußeren Quadrats schneiden, entstehen die Schnittpunkte b, b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7.
Nun ist die Grundkonzeption, die für weiteres Vorgehen benötigt wird, fertiggestellt.
Weiterführende Konstruktionen (Teil III)
K 1) Schlage um den Punkt A1 einen Kreisbogen mit dem Radius A1a1, wobei dieser Kreisbogen die Strecke bA in dem Punkt Q schneidet. Es entsteht die Strecke a2Q.
K 2) nehmen die Strecke a2Q in den Zirkel und schlage um den Punkt a2 einen Kreisbogen, sodass er die Strecke die von a2 ausgehend über den Punkt M hinausgeführt worden ist, also die Strecke Ma6, im Punkt R schneidet.
K3) Verbinde nun die Punkte a2 und Q, es ist die Strecke a2Q entstanden. Verbinde auch a2 und b2, somit ist die Strecke a2b2 entstanden.
K4) schlage um den Punkt a2 mit der Strecke a2b2 einen Kreisbogen, der von Punkt M über die Punkte a2 und A2 hinausgehend die Linie, in Punkt P schneidet.
K5) die neue Strecke RP entspricht mit relativ guter Genauigkeit der Kantenlänge des Quadrats, das den gleichen Flächeninhalt hat, wie der vorgegebene Kreis.
Die Strecke PR entspricht ziemlich genau der Kantenlänge des gesuchten Quadrats.
Berechnungen bei Ausführungen nach der Grundkonstruktion
Annahme Kreisdurchmesser D = 100 mm
Entstehung und Berechnung der Strecke: von a2 nach Q
Schlage um A1 einen Kreis mit dem Radius A1a1
wo dieser Kreisbogen die Linie bA1 schneidet entsteht der Schnittpunkt „Q“
Die Strecke a2Q entsteht mit der Länge 50,36662153 mm
Formel : Wurzel ((A1a1-bA1) x (A1a1-bA1) + (ba2 x ba2)) = Wurzel ((bQ x bQ) +(ba2xba2)) =Wurzel ((H21 x H21 + H16 x H16))
50,36662153 mm
Entstehung und Berechnung der Strecke: von a2 nach b2
Nehme die Strecke a2b2 in den Zirkel und schlage um den Punkt a2 einen Kreisbogen der die Linie ,die über die Strecke von M über a2 und A2 hinaus reicht ,in dem Punkt P schneidet.
Die Strecke a2b2 entsteht mit der Länge 38,26834323651
Formel : Wurzel((a2a3 x a2a3)+(a3b2 x a3b2)) = Wurzel(( H17 x H17) + (H18 x H18))
38,2683424 mm
Die Strecke RP ist die Summe von D 30 + D36 = 50,36662153 mm + 38,2683424 mm = 88,63496477 mm.
Die Seitenlänge des Quadrats mit dem gleichen Flächeninhalt wie der des vorgegebenen Kreises beträgt gemäß der Konstruktion: 88,63496477 mm
Die Seitenlänge des Quadrats mit dem gleichen Flächeninhalt wie der des vorgegebenen Kreises beträgt errechnet : Wurzel aus (D2 x Phi/4) = 88,62269255 mm
Die Differenz von Quadratseite (konstruiert) minus der Quadratseite (errechnet) beträgt:
88,63496477 mm – 88,62269255 mm = 0,012272222 mm
Allgemeingültiger ausgedrückt: Die beiden Quadratseiten stehen in einem Verhältnis von:
Quadratseite (konstruiert) / Quadratseite (errechnet) = 88,63496477 / 88,62269255 =
1,000138477
KONSTRUKTION VON DER ZAHL PI
Die Zahl Pi
Die Zahl entsteht, wenn ich:
1) Einen Kreis mit dem Durchmesser 1 mit dem dazugehörigen inneren Quadrat versehe.
2) Die Seite AB des inneren Quadrats in 5 gleiche Teile zu teilen.
3) Die Strecke A1 (1/5 der Strecke AB) in den Zirkel zu nehmen und mit dieser Länge, um den Punkt A einen Kreisbogen schlage, sodass auf der Strecke AC, die durch den Mittelpunkt des Kreises geht, der Punkt F entsteht.
4) Zu der Strecke AF , die der Länge von 1 / 5 der Seitenlänge der inneren Quadratseite entspricht, 3 x den
Kreisdurchmesser (hier =1) dazu addiere. Also von Punkt A aus, die Strecke des Durchmessers (D) 3 x auf einer Linie, die über die Strecke von Punkt C über Punkt A hinaus gezeichnet wurde, auftrage. Es entsteht der Punkt E.
5) Die Strecke E F entspricht mit großer Genauigkeit der Zahl Pi . (Siehe Zeichnung Skizze: (Pi) 1 )
Durchmesser = 1 ; Seitenlänge des Innenquadrats des Kreises mit dem Durchmesser =1 beträgt :1 / Wurzel (2) = 1 : 1, 4142136 = 0,7071068; 1/5 der Seitenlänge des Innenquadrats ist = 0,7071068 / 5 = 0,14142136
3 x den Durchmesser (1 ) und 1 / 5 der Seite des Innenquadrats ( 0,14142136) = 3 x 1 + 0,14142136 = 3,14142136
ist Pi (konstruiert) = 3,14142135624 ; Pi (rechnerisch) = 3,14159265359 ;
Differenz der beiden Werte (Pi rechnerisch) – Pi (konstruiert) = 3,14159265359 – 3,14142135624 = 0,0001712935
Umfang des Kreises
Der Umfang des Kreises wird ermittelt, indem man dreimal den Durchmesser des gegebenen Kreises an die Strecke AF
( 1 / 5 der Seitenlänge des inneren Quadrats dieses Kreises) addiert. (Siehe Zeichnung Skizze: (Pi) 1 )
oder:
Der Umfang des Kreises wird ermittelt, in dem man dreimal den Durchmesser des Kreises an die Strecke 01
( 1 / 5 der Seitenlänge des inneren Quadrats dieses Kreises) addiert. (Siehe Zeichnung Skizze: (Pi) 2 )
Flächeninhalt des Kreises
Der Flächeninhalt des Kreises wird ermittelt, indem man dreimal den Durchmesser des gegebenen Kreises an die Strecke AF oder A1 (beide haben die gleiche Länge = 1 / 5 der Seite des Innenquadrats oder 1 / 10 der Diagonale des Außenquadrats) addiert und diese gefundene Länge, mit der Strecke EF die = D/4 (einem Viertel der Länge des Durchmessers) ist, multipliziert.
Dies geschieht, in dem man in den Punkten E und F je eine Senkrechte errichtet und um die Punkte E und F einen Kreisbogen mit dem Radius des Kreises (D / 2) schlägt. Die neuen Punkte nennt man G und H. Dann werden die Strecken EG und FH halbiert und ich gewinne die Punkte K und L .Nun wird eine Parallele zur Strecke EF durch die Punkte K und L gezogen.
Oder man nimmt gleich die Länge D/4 (1/4 Durchmesser) in den Zirkel und schlägt mit dieser Länge je einen Kreisbogen um die Punkte G und H, sodass ohne Umwege die Punkte K und L entstehen. Das Rechteck mit den Endpunkten K, E, F, L hat den gleichen Flächeninhalt wie die Kreisfläche mit dem Durchmesser D. (siehe Skizze: Flächeninhalt des Kreises)
Weitere Konstruktionsmöglichkeiten:
Für den Flächeninhalt des Kreise: Die Strecke D/4 (1/4 Durchmesser) entsteht auch, wenn ich die Strecke AM halbiere.
Die Zahl Pi entsteht, auch wenn ich:
1) Einen Kreis mit dem Durchmesser 1 mit dem dazugehörigen inneren Quadrat versehe.
2) Die Seite AB des inneren Quadrats schneidet die waagerechte Linie, die durch den Kreismittelpunkt geht, im Schnittpunkt 0 .
3) Die Strecke 0E, die der Länge der Seiten des inneren Quadrats entspricht, ist in 5 gleiche Teile zu teilen.
4) Zu der Strecke 01 , mit der Länge von 1 / 5 der Seitenlänge der inneren Quadratseite, sind 3 x der Kreisdurchmesser (hier =1) zu addieren.
5) Die Strecke A1 B1 entspricht mit großer Genauigkeit der Zahl Pi . (Siehe Zeichnung Skizze: (Pi) 2 )
oder:
1) Einen Kreis mit dem Durchmesser 1 mit dem dazugehörigen äußeren Quadrat versehen.
2) Die Diagonale des äußeren Quadrats in 10 gleiche Teile teilen (oder die halbe Diagonale, die der Seite des inneren Quadrats entspricht, in fünf gleiche Teile teilen. Der zehnte Teil der Diagonale des äußeren Quadrats entspricht dem fünften Teil der halben Diagonale oder gleich dem fünften Teil der Seite des inneren Quadrats).
3) zu der Strecke (ein Zehntel der Diagonale des äußeren Quadrats oder entsprechend des 5. Teils der Seite des inneren Quadrats) noch dreimal den Durchmesser des Kreises (oder sechsmal den Radius des Kreises) addiere.
4) die gesuchte Gesamtstrecke entsteht: aus 3 mal den Durchmesser des Kreises (6 mal den Radius des Kreises) und einem Zehntel der Diagonale des äußeren Quadrats (oder ein Fünftel der Seite des inneren Quadrats).
Hierzu sind weitere Aussagen aus den beigefügten Zeichnungen zu ersehen.
Dazu zwei selbsterklärende Zeichnungen.
Es gibt eine noch genauere, aber auch aufwendiger Konstruktion. Dazu ist der Autor zu konsultieren.
Die Strecke E – X entspricht dann recht genau der Zahl Pi.
Pi (errechnet): 3,14159265358979, Pi (konstruiert): 3,1415926629547
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Differenz: 0, 00000000936492
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QUADRATUR DES KREISES MITTELS PI
Konstruktion der Seite eines Quadrats,
das den gleichen Flächeninhalt hat wie der des vorgegebenen Kreises.
( nach der einfachen Pi Ermittlung )
Zu erst die Grundkonstruktionen
(Siehe Konstruktion eines Kreises (Teil I), mit folgendem Ergebnis)
Nun weiterführende neue Konstruktionsschritte:
Dann wird weiter ausgeführt (Teil II)
K1) Die Seite des Quadrats, das den gleichen Flächeninhalt hat wie der des vorgegebenen Kreises, erhalte ich, in dem man in dem vorgegebenen Kreis das innere Quadrat mit den Punkten A B C D zeichnet (als weitere Grundkonstruktion).
K2) Wir ziehen dann jeweils eine Linie, die über den Punkt D, den Mittelpunkt des Kreises M und den Punkt B hinausgeht und eine Linie, die von dem Punkt C über den Punkt M, den Mittelpunkt des Kreises, über den Punkt A hinausgeht. Nun trage ich auf der Linie, die von Punkt C über den Punkt M und A hinausgeht, vom Punkt A aus dreimal den Durchmesser des Kreises auf und erhalte den Punkt E.
Errichte in Punkt A eine Senkrechte, auf der ich 5gleiche Teilstrecken auftrage. Die Seite des inneren Quadrats mit den Endpunkten A und B teile ich nun mittels des Strahlensatzes in fünf gleiche Teile.
Jetzt schlage ich um Punkt A einen Kreisbogen mit der Strecke A F1, die ein Fünftel der Seite des inneren Quadrats mit den Endpunkten A B entspricht und schneidet die Strecke A M im Punkt F.
Die Strecke A F entspricht der Strecke A F1 und ist ein Fünftel der Länge einer Seite des inneren Quadrats. Errichte jeweils in den Punkten F und E eine Senkrechte.
K3) Halbiere jetzt die Strecke (M D) und erhalte den Punkt P. Schlage um den Punkt F und um den Punkt E mit der Strecke MP einen Kreisbogen. Die Senkrechte, die in Punkt F errichtet und auch senkrecht nach unten verlängert wurde, wird im Punkt L und die Senkrechte, die im Punkt E errichtet und auch senkrecht nach unten verlängert wurde, wird im Punkt K geschnitten. Verbinde die Punkte K und L. Es entsteht das Rechteck EFLK, das den gleichen Flächeninhalt hat wie der vorgegebene Kreis (die Ausgangsgröße).
K4) Halbiere jetzt die lange Seite (E F) des Rechtecks mit den Endpunkten E F L K und finde den Punkt G. Schlage nun mit der halben Länge der Seite E F, also mit der Strecke E G, einen Kreisbogen um Punkt G, also von dem Punkt E zu dem Punkt F.
K5) Schlage dann um den Punkt E und um den Punkt K jeweils einen Kreisbogen mit der Länge der kürzeren Seite, hier mit der Strecke E K (siehe Skizze) und finde beim Schneiden der Strecken EA und KL die Punkte H und I. Verbinde den Punkt I mit dem Punkt H und führe die Linie über den Punkt H hinaus, bis sie den Kreisbogen über die Strecke EF in dem Punkt J schneidet (oder errichte im Punkt H eine Senkrechte, bis diese unten den Punkt I schneidet und den Kreisbogen im Punkt J).
Die Verbindungslinie der Punkte E J, also Strecke E J, ist die gesuchte Seitenlänge des Quadrats, das die gleiche Fläche hat wie die des vorgegebenen Kreises.
Strecke E J, ist die gesuchte Seitenlänge des Quadrats.
Berechnung
(Auch gibt es eine noch genauere, aber auch aufwendiger Konstruktion. Dazu ist der Autor zu konsultieren.)
BASISWINKEL IN DREI GLEICHE WINKEL TEILEN
Ein Winkel soll in drei gleiche Winkel aufgeteilt werden.
Aufgabenstellung:
Ein beliebiger Winkel eines Dreiecks mit den Endpunkten A C B soll in drei gleiche Winkel aufgeteilt (zerlegt) werden.
Erkenntnis:
Die drei Winkel sind gleich groß, wenn ihre Sehnen gleich lang sind.
Ausführungsvorbereitung:
Es ist dafür zu sorgen, dass der zu teilende Winkel von zwei gleichlangen Strecken (Schenkeln) gebildet wird. Dazu wählen wir z.B. den Punkt A als Scheitelpunkt für den zu teilenden Winkel des Dreiecks.
Nun schlagen wir um den Punkt A einen Kreises mit dem Radius der Strecke AC (die Strecke AC ist kürzer als die Strecke AB) und schneiden dabei die Strecke AB im Punkt D. Die Strecken AC und AD sind gleich lang.
Es könnte z.B. auch die längere Strecke, also die Strecke AB gewählt werden. Dann müsste die Strecke AC über Punkt C verlängert werden, sodass man dann mit der Strecke AB ein Kreisbogen schlagen kann, der die verlängerte Linie über Punkt C hinaus in einem Punkt z. B. in X schneiden würde. Dann wäre Strecke AX gleich der Strecke AB und somit wäre auch die Forderung, dass der eingeschlossene Winkel über dem gewählten Scheitelpunkt, hier Punkt A von zwei gleichen Strecken (Schenkeln) gebildet wird, erfüllt.
Ausführung:
1) Der Winkel (Alpha) gebildet von den Seiten des Dreiecks AC und AD wird halbiert, in dem man
mit einer Zirkelöffnung, die größer ist als der Abstand von Punkt C zu Punkt D, jeweils um die Punkte C und D
einen Kreisbogen schlägt, sodass diese sich schneiden. Nun verbinden wir diesen Schnittpunkt mit dem Punkt A, dabei wird der Kreisbogen, der über Punkt C zu Punkt D führt, im Punkt E1 geschnitten.
Wir verbinden nun die Punkte C und D, dabei wird die Winkelhalbierende im Punkt E geschnitten.
Diese Linie von Punkt A über die Punkte E, E1 hinaus halbiert den Winkel Alpha und somit auch die Strecke AD.
Diese Strecke CD stellt die Sehne unter dem Kreisbogen dar, der mit der Länge AC um den Punkt A zum Punkt D geschlagen wurde.
Diese Strecke ( E zu E1 ) stellt die Höhe (Segmenthöhe oder Kreisabschnittshöhe) unter dem Kreisbogen dar, der mit der Länge AC um den Punkt A von Punkt C zum Punkt D geschlagen wurde, über der Strecke AD. (siehe Skizze).
2) Im Punkt A errichte ich nun eine Senkrechte zur Strecke AE, die durch den Punkt A führt, sodass dieser etwa in der Mitte dieser Senkrechten liegt. Dann wird um den Punkt A ein Kreisbogen mit Strecke AC oder AD (beide sind ja gleich lang) geschlagen, sodass die Senkrechte, die in Punkt A errichtet wurde, zweimal geschnitten wird. Der Punkt A liegt in der Mitte der beiden Schnittpunkte, die wir F und G nennen. Die Strecke von Punkt F zu Punkt G steht senkrecht auf der halbierenden Linie des Winkels (Alpha). Wir nehmen jetzt die Strecke EE1 in den Zirkel und schlagen um den Punkt A einen Kreisbogen, sodass dieser die Senkrechte, die in Punkt A errichtet wurde, zweimal schneidet. Diese neuen Punkte nennen wir M und N (siehe Skizze).
3) Wir nehmen jetzt die Strecke FG in den Zirkel und schlagen um den Punkt M und um den Punkt N einen Kreisbogen, sodass dieser die Winkelhalbierende, die über den Punkt A hinaus geht, im Punkt H schneidet (siehe Skizze).
4) Die Strecke CD wird jetzt in drei gleiche Teile geteilt. Dies kann mittels des Strahlensatzes geschehen. Es entstehen 2 Punkte K und L (siehe Skizze).
5) Nun werden zwei Gerade gezogen, die beide von Punkt H aus geführt werden. Eine von Punkt H über den Punkt K und eine von Punkt H aus über den Punkt L (siehe Skizze), dabei werden die Strecken FA und AG in den Punkten Q und R geschnitten. Es entstehen auch auf dem Kreisbogen über die Strecke CD zwei neue Schnittpunkte, nämlich die Punkte O und P (siehe Skizze).
6) Die drei Sehnen auf dem Kreisbogen über der Strecke (Sehne) CD, nämlich die Verbindung von Punkt C zu O, von O zu P und von P zu D sind ziemlich genau gleich lang. Die Sehne OP schneidet die Strecke EE1 im Punkt E2. Der Winkel zwischen den Strecken AC und AO und der Winkel zwischen den Strecken AO und AP und der Winkel zwischen den Strecken AP und AD sind fast gleich groß. Sie haben auch die annähernd gleiche Sehnen- bzw. Kreisbogenlänge. Zur Ermittlung der Strecke (Sehne) OP ist die Hilfslänge E1T rechnerisch zu ermitteln. Sie hilft, dass durch Anwendung des Strahlensatzes, letztlich die gesucht Strecke OP gefunden werden kann.
Somit ist vorgegebene der Winkel Alpha in fast drei gleiche Winkel aufgeteilt.
Die Summe der 3 Winkel entspricht annähernd, mit ausreichender Genauigkeit, dem Basiswinkel (Alpha).
(Zu weiteren Fragen und der Berechnung ist der Autor zu konsultieren.)
